Wednesday, July 13, 2005

Polinomios

Cuestionario

1. Define Polinomio en R. Clases y ejemplos
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"Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn, donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo".

  • 1) 3x - 2
  • 2) x4 + 5
  • 3) 2n2 - 5n + 3
  • 4) 5y3 + 4y2 - 3y + 1
  • 5) 23
Los polinomios se clasifican de acuerdo al numero de sus terminos:
  • Monomio, si tiene un solo termino.

Ejm: 3x

  • Binomio, si tiene dos terminos.

Ejm: x2y + 3ab2y3

  • Polinomio, si tiene mas de dos terminos.

Ejm: -2x3 + 3x2 + 5

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*POLINOMIOS
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*Leoncio Santos Cuervo, Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000, POLINOMIOS (1)
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*Mis mates, POLINOMIOS
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2. Aplicaciones, ejemplos
- Generalmente se hace uso de las funciones reales, en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de economía ,de finanzas , de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía , y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

- Alejandro Carreiras. Matemática. "Funciones". Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml
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3. Investiga sobre:
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3.1. Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto. Ejemplos
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Grado Relativo: Es el exponente que afecta a cada letra
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4a3b2 = GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
...............GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
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Grado Absoluto: Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras.
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4a3b2 = GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)
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x5y3z = GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)
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*Leoncio Santos Cuervo, Monomios
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*Página de Matemática, Introducción al álgebra
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3.2. Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas. Ejemplos
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Grado Relativo: Es el mayor exponente de los terminos.
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4a3b2 +5a5b1 = GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5)
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4a3b2 +5a5b1 = GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
..
Grado Absoluto: Es la suma mayor de los exponentes de las variables de los términos de un polinomio.
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4a3b2 +5a5b1 = En este caso entre el 5 y el 6, me quedare con el 6.GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)
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*Página de Matemática, Introducción al álgebra
http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm#grados
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Grado de Operaciones Algebraicas: Esta se divide en cuatro:
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Operación

Definición

De multiplicación

Es la suma de los grados de los factores.

De división.

Es el resultado de la diferencia del grado del dividendo menos el grado del divisor.

De potencia

El es producto de multiplicar el grado de la base por el exponente.

De radicación

Es el resultado de dividir el grado del radicando entre el índice del radical.

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*Página de Matemática, Introducción al álgebra

3.3. Polinomios especiales. Ejemplos
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Los polinomios especiales se clasifican en:.
  • Polinomios Completos: Podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo. Ejm:

a) 6x3 -5x1 +3x5 +x2 -x4 +5x0

b) 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5

  • Polinomios Ordenados: Podemos decir que un polinomio es ordenado si va subiendo en forma ascendente y logicamente si baja en forma descendente. Ejm.

a) 5a2 +3a3 -a5 +a8

b) 5x6 +3x5 -2x2 +x1

  • Polinomios Homogéneos: Se llama polinomio homgeneo a aquel que sumados sus exponentes se obtiene el mismo valor. Ejm:

a) 3a2b + 5ab2 -3abc

Ahora voy a sumar los exponentes de cada término:

Primer término: 3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3
Segundo término: +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3
Tercer término: -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3

  • Polinomios Heterogeneos: Es cuando uno o todos los grados son desiguales.
  • Polinomios Identicos: Dos polinomios son identicos si tiene el mismo grado y los terminos den igual exponente en x tiene los mismos coeficiente.
  • Polinomios Identicamente nulos: Es el polinomio que tiene todos los coeficientes iguales a cero y carece de grado.
*Página de Matemática, Introducción al álgebra
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*Gustavo Dufour, Polinomios
3.4. Operaciones con polinomios: (Escribe ejemplos para entenderlo mejor en cada caso)
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3.4.1.1. Adición
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Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes
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Ejm: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x

..........5x5+0x4+0x3 -x2 -x

.......12x5+0x4+3x3+3x2-3x

3.4.1.2. Sustracción

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

(4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) - ( 5x3 - x2 + 2x )

Se calcula la suma: (4x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 5 ) + ( - 5x3 + x2 - 2x ) = 4x4 - 7x3 + 4x2 - 4x + 5

3.4.1.3. Multiplicación

Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. Ejm:

Polinomios


*Wanadoo, el rincón del vago, POLINOMIOS

http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

*Mis mates, POLINOMIOS

http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#operac

*Wanadoo, el rincón del vago, Polinomios

http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

3.4.1.4. Productos notables: casos, Identidades de Legendre

Productos notables: Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección.

  • Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.
    Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2
  • Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
    Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2
  • Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.
    Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3
  • Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.
    Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3
  • La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.
    Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2.

  1. Binomio de Suma al Cuadrado

    ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

  2. Binomio Diferencia al Cuadrado

    ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

  3. Diferencia de Cuadrados

    ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

  4. Binomio Suma al Cubo

    ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

    = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

  5. Binomio Diferencia al Cubo

    ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

  6. Suma de dos Cubos

    a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

  • Diferencia de Cubos

    a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

  • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

  • Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

  • Identidades de Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

  • Producto de dos binomios que tienen un término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

  • *Wanadoo, el rincón del vago, Expresiones algebraicas. Monomios y polinomios. Ecuaciones

    http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas_monomios-y-polinomios_ecuaciones.html

    *Jose Luis Carrillo Rigofrio, Monografias.com, Productos notables

    http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml

    *Jose Luis Carrillo Rigofrio, Productos notables

    http://www.informacion-util.com.ar/trabajos.php?load=16/productos-notables/productos-notables.shtml

    3.5. Ejercicios y problemas aplicativos

    Suma de polinomios

    MathType 5.0 Equation

    Resta de polinomios

    . MathType 5.0 Equation

    Producto de polinomios

    Siendo P(x) = 3x4 - 2x y Q(x) = 2x3 - 2x2 + 3, vamos a calcular P(x) . Q(x).

    P(x) . Q(x) = 3x4 (2x3 - 2x2 + 3) - 2x (2x3 - 2x2 + 3) =

    =3x4 . 2x3 + 3x4 (-2x2) + 3x4 . 3 - 2x . 2x3 - 2x (-2x2) - 2x . 3 =

    = 3 . 2 x4x3 + 3 (-2) x4x2 + 3.3 x4 -2 . 2 xx3 - 2(-2)xx2 -2 . 3 x =

    = 6x7 - 6x6 +5x4 + 4x3 - 6x

    Otra forma de hacerlo sería utilizando la notación vertical:

    2x3 - 2x2 + 3

    3x4 - 2x

    ------------------------------------

    - 4 x4 + 4 x3 - 6 x

    6 x7 - 6 x6 + 9 x4

    -------------------------------------

    6 x7 - 6 x6 + 5 x4 + 4 x3 - 6 x

    *Mismates, POLINOMIOS

    http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm#monom

    *Lycos, Resta de polinomios

    http://usuarios.lycos.es/calculo21/id47.htm